HASIL KALI TITIK

Hasil kali titik antara vektor A  dan B, ditulis dengan A·B, didefinisikan dengan

A·B = AB cos q,

di mana q adalah sudut antara A  dan B yang dipilih sedemikian hingga 0 £ q £ p. Perhatikan bahwa A·B adalah suatu skalar.

Sifat-sifat hasil kali titik:

1.     A·B= B·A

2.     A·(B+C)= A·B+ A·C

3.     m(A·B) = (mA)·B= A·(mB)= (A·B)m

4.     i·i = j·j = k·k = 1,  i·j = j·k = k A = A₁i+A₂j+A₃k i = 0.

5.     Jika A = A₁i+A₂j+A₃k dan B = B₁i+B₂j+B₃k, maka

A·B = A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃

A·A = A²

B·B = B²

6.     Jika A·B = 0 dan A dan B bukan vektor nol maka A dan B saling tegak lurus.

HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang dari vektor A dan B didefinisikan dengan

AxB = AB sinq u,   0£ q £ p,

dimana u adalah vektor satuan dengan arah tegak lurus pada bidang yang memuat A dan B sedemikian hingga A, B, dan AxB membentuk sebuah “sistem tangan kanan”

Sifat-sifat hasil kali silang

1.     AxB = -BxA

2.     Ax(B+C) = AxB + AxC

3.     m(AxB) = (mA)xB = Ax(mB) = (AxB)m

4.     ixi = jxj = kxk = 0,  ixj = k,   jxk = i,   kxi = j

5.     Jika A = A₁i+A₂j+A₃k dan B = B₁i+B₂j+B₃k 

6.     Besarnya AxB  sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B.

7.     Jika AxB=0 dan A dan B bukan vektor nol maka A dan B sejajar.

8.     Misal A, B, dan C vektor-vektor dengan

A = A₁i+A₂j+A₃k, B = B₁i+B₂j+B₃k, dan C = C₁i+C₂j+C₃k,  

Hasil kali A·(BxC) disebut hasil kali tripel skalar atau hasil kali kotak dari A, B dan C, dan ditulis dengan [ABC]. Hasil kali Ax(BxC) disebut hasil kali tripel vektor dari A, B dan C.

Hukum-hukum yang berlaku

1.     A·(BxC) = B·(CxA) = C·(AxB)

2.     Ax(BxC) = (A·C)B - (A·B)C

3.     (AxB)xC = (A·C)B - (B·C)A

Perhatikan bahwa

4.     (A·B)C ¹A(B·C)

5.     Ax(BxC) ¹ (AxB)xC

Catatan: Kita dapat menuliskan A·(BxC)  dengan A·BxC, tetapi Ax(BxC)  tidak dapat ditulis dengan AxBxC.