TRANSFORMASI LINIER 

Jika F: V à W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linier jika:

–F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V

–F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k

MATRIKS TRANSFORMASI 

Misalkan A adalah suatu matriks berorde m’n. Jika notasi matriks digunakan untuk vektor di Rm dan Rn, maka dapat didefinisikan suatu fungsi T: RnàRm dengan

  T(x) = Ax

  Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1; jadi T memetakan Rn ke dalam Rm dan T linier•Jika T: RnàRm adalah transformasi linier, dan jika e1, e2, …, en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalah perkilaan oleh A atau

  T(x) = Ax

  dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(e3)

RUMUS DASAR INTEGRAL 

Jika f(x) fungsi kontinu, maka

 ∫f(x) dx =F(x) + c , c =kontanta

∫un du = un+1/n+1 + c

∫1/u du= ln |u| + c

         ∫eu du= eu + c

∫au du= au/ ln a + c

∫ sin u du  = - cos u +c

∫ cos u du =  sin u +c

∫ sec2 u du = tan u +c

∫ cosec2 u du = -cotan u +c

∫ sec u tan u du = sec u +c

∫ cosec u cotan u du = -cosec u +c

∫  tan u du = - ln |sec| u +c

∫ cotan u du =  ln |sin| u +c

∫ sec u du = ln |sec+tan u| +c

∫ cosec u du = ln |cosec-cotan u| +c

KUANTOR

• Kuantor Universal dimana terdapat ungkapan seperti :

- Untuk setiap, untuk tiap-tiap, untuk semua

• Kuantor Ekstensial dimana terdapat ungkapan seperti :

        - terdapat, ada, sekurang-kurangnya ada satu

§Kuantor Universal

• Ditulis dengan lambang "

• Pandang kalimat : Semua orang Indonesia adalah orang Asia

•  Diterjemahkan menjadi : Untuk semua x, jika Lx maka Ax

    Lx : x orang Indonesia

Ax : x orang Asia

• Dalam kalimat logika ditulis : ("x) [Lx ® Ax]

• Bentuk ini disebut Afirmatif umum

• Pandang kalimat : Semua orang Indonesia bukan orang Eskimo

• Ditulis ("x) [Lx ® ~ Ax]

• Bentuk ini disebut Negatip umum

§ Kuantor Ekstensial

• Ditulis dengan lambang $

• Pandang kalimat : Ada orang Indonesia yang makan nasi

                             Ada beberapa orang Indonesia yang makan nasi

•  Diterjemahkan menjadi :

    Ada x yang memenuhi sifat: x orang Indonesia dan x makan nasi

Ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi

Lx : x orang Indonesia

N x : x makan nasi

• Dalam kalimat logika ditulis : ($x) [Lx Ù Nx]

•Bentuk ini disebut Afirmatif khusus

•Pandang kalimat :

Ada x sehingga jika x orang Indonesia maka x makan nasi

• Ditulis ("x) [Lx ®  Nx]•  Pandang kalimat :

Beberapa ikan paus tidak termasuk hewan menyusui

•Diterjemahkan : Ada paling sedikit satu x, sehingga jika x ikan paus maka x bukan hewan menyusui

• Ditulis ($x) [Hx ® ~ Mx]

• Bentuk ini disebut Negatip khusus

Analisis Variansi

Satu Arah

•Analisa variansi (ANOVA) adalah suatu metoda untuk menguji hipotesis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi.

•Asumsi

• Sampel diambil secara  random dan saling bebas (independen)
• Populasi berdistribusi Normal
• Populasi mempunyai kesamaan variansi

Misalkan kita mempunyai k populasi. Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n. Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata m1, m2, …. dan  mk dan variansi s2.

•Hipotesa :

H0 : m1 = m2 = … = mk

H1 : Ada setidaknya dua rata-rata yang tidak sama

HASIL KALI TITIK

Hasil kali titik antara vektor A  dan B, ditulis dengan A·B, didefinisikan dengan

A·B = AB cos q,

di mana q adalah sudut antara A  dan B yang dipilih sedemikian hingga 0 £ q £ p. Perhatikan bahwa A·B adalah suatu skalar.

Sifat-sifat hasil kali titik:

1.     A·B= B·A

2.     A·(B+C)= A·B+ A·C

3.     m(A·B) = (mA)·B= A·(mB)= (A·B)m

4.     i·i = j·j = k·k = 1,  i·j = j·k = k A = A₁i+A₂j+A₃k i = 0.

5.     Jika A = A₁i+A₂j+A₃k dan B = B₁i+B₂j+B₃k, maka

A·B = A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃

A·A = A²

B·B = B²

6.     Jika A·B = 0 dan A dan B bukan vektor nol maka A dan B saling tegak lurus.

HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang dari vektor A dan B didefinisikan dengan

AxB = AB sinq u,   0£ q £ p,

dimana u adalah vektor satuan dengan arah tegak lurus pada bidang yang memuat A dan B sedemikian hingga A, B, dan AxB membentuk sebuah “sistem tangan kanan”

Sifat-sifat hasil kali silang

1.     AxB = -BxA

2.     Ax(B+C) = AxB + AxC

3.     m(AxB) = (mA)xB = Ax(mB) = (AxB)m

4.     ixi = jxj = kxk = 0,  ixj = k,   jxk = i,   kxi = j

5.     Jika A = A₁i+A₂j+A₃k dan B = B₁i+B₂j+B₃k 

6.     Besarnya AxB  sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B.

7.     Jika AxB=0 dan A dan B bukan vektor nol maka A dan B sejajar.

8.     Misal A, B, dan C vektor-vektor dengan

A = A₁i+A₂j+A₃k, B = B₁i+B₂j+B₃k, dan C = C₁i+C₂j+C₃k,  

Hasil kali A·(BxC) disebut hasil kali tripel skalar atau hasil kali kotak dari A, B dan C, dan ditulis dengan [ABC]. Hasil kali Ax(BxC) disebut hasil kali tripel vektor dari A, B dan C.

Hukum-hukum yang berlaku

1.     A·(BxC) = B·(CxA) = C·(AxB)

2.     Ax(BxC) = (A·C)B - (A·B)C

3.     (AxB)xC = (A·C)B - (B·C)A

Perhatikan bahwa

4.     (A·B)C ¹A(B·C)

5.     Ax(BxC) ¹ (AxB)xC

Catatan: Kita dapat menuliskan A·(BxC)  dengan A·BxC, tetapi Ax(BxC)  tidak dapat ditulis dengan AxBxC.

Beberapa Definisi Manusia :

1.       Manusia adalah makhluk utama, yaitu diantara semua makhluk natural dan supranatural, manusia mempunyai jiwa bebas dan hakikat hakikat yg mulia.

2.       Manusia adalah kemauan bebas. Inilah kekuatannya yg luar biasa dan tidak dapat dijelaskan : kemauan dalam arti bahwa kemanusiaan telah masuk ke dalam rantai kausalitas sebagai sumber utama yg bebas – kepadanya dunia alam –world of nature–, sejarah dan masyarakat sepenuhnya bergantung, serta terus menerus melakukan campur tangan pada dan bertindak atas rangkaian deterministis ini. Dua determinasi eksistensial, kebebasan dan pilihan, telah memberinya suatu kualitas seperti Tuhan

3.       Manusia adalah makhluk yg sadar. Ini adalah kualitasnya yg paling menonjol; Kesadaran dalam arti bahwa melalui daya refleksi yg menakjubkan, ia memahami aktualitas dunia eksternal, menyingkap rahasia yg tersembunyi dari pengamatan, dan mampu menganalisa masing-masing realita dan peristiwa. Ia tidak tetap tinggal pada permukaan serba-indera dan akibat saja, tetapi mengamati apa yg ada di luar penginderaan dan menyimpulkan penyebab dari akibat. Dengan demikian ia melewati batas penginderaannya dan memperpanjang ikatan waktunya sampai ke masa lampau dan masa mendatang, ke dalam waktu yg tidak dihadirinya secara objektif. Ia mendapat pegangan yg benar, luas dan dalam atas lingkungannya sendiri. Kesadaran adalah suatu zat yg lebih mulia daripada eksistensi.

4.       Manusia adalah makhluk yg sadar diri. Ini berarti bahwa ia adalah satu-satuna makhluk hidup yg mempunyai pengetahuan atas kehadirannya sendiri ; ia mampu mempelajari, manganalisis, mengetahui dan menilai dirinya.

5.       Manusia adalah makhluk kreatif. Aspek kreatif tingkah lakunya ini memisahkan dirinya secara keseluruhan dari alam, dan menempatkannya di samping Tuhan. Hal ini menyebabkan manusia memiliki kekuatan ajaib-semu –quasi-miracolous– yg memberinya kemampuan untuk melewati parameter alami dari eksistensi dirinya, memberinya perluasan dan kedalaman eksistensial yg tak terbatas, dan menempatkannya pada suatu posisi untuk menikmati apa yg belum diberikan alam.

6.       Manusia adalah makhluk idealis, pemuja yg ideal. Dengan ini berarti ia tidak pernah puas dengan apa yg ada, tetapi berjuang untuk mengubahnya menjadi apa yg seharusnya. Idealisme adalah faktor utama dalam pergerakan dan evolusi manusia.Idealisme tidak memberikan kesempatan untuk puas di dalam pagar-pagar kokoh realita yg ada.Kekuatan inilah yg selalu memaksa manusia untuk merenung, menemukan, menyelidiki, mewujudkan, membuat dan mencipta dalam alam jasmaniah dan ruhaniah.

7.       Manusia adalah makhluk moral. Di sinilah timbul pertanyaan penting mengenai nilai.Nilai terdiri dari ikatan yg ada antara manusia dan setiap gejala, perilaku, perbuatan atau dimana suatu motif yg lebih tinggi daripada motif manfaat timbul. Ikatan ini mungkin dapat disebut ikatan suci, karena ia dihormati dan dipuja begitu rupa sehingga orang merasa rela untuk membaktikan atau mengorbankan kehidupan mereka demi ikatan ini.

8.       Manusia adalah makhluk utama dalam dunia alami, mempunyai esensi uniknya sendiri, dan sebagai suatu penciptaan atau sebagai suatu gejala yg bersifat istimewa dan mulia. Ia memiliki kemauan, ikut campur dalam alam yg independen, memiliki kekuatan untuk memilih dan mempunyai andil dalam menciptakan gaya hidup melawan kehidupan alami. Kekuatan ini memberinya suatu keterlibatan dan tanggung jawab yg tidak akan punya arti kalau tidak dinyatakan dengan mengacu pada sistem nilai.

Makhluk Tuhan Hakekat manusia adalah sebagai berikut :

1.       Makhluk yang memiliki tenaga dalam yang dapat menggerakkan hidupnya untuk memenuhi kebutuhan-kebutuhannya.

2.       Individu yang memiliki sifat rasional yang bertanggung jawab atas tingkah laku intelektual dan sosial.

3.       yang mampu mengarahkan dirinya ke tujuan yang positif mampu mengatur dan mengontrol dirinya dan mampu menentukan nasibnya.

4.       Makhluk yang dalam proses menjadi berkembang dan terus berkembang tidak pernah selesai (tuntas) selama hidupnya.

5.       Individu yang dalam hidupnya selalu melibatkan dirinya dalam usaha untuk mewujudkan dirinya sendiri, membantu orang lain    dan membuat dunia lebih baik untuk ditempati

6.       Suatu keberadaan yang berpotensi yang perwujudanya merupakan ketakterdugaan dengan potensi yang tak yang berarti ia adalah makhluk yang mengandung kemungkinan baik dan jahat.

7.       Individu yang sangat dipengaruhi oleh lingkungan turutama lingkungan sosial, bahkan ia tidak bisa berkembang sesuai dengan    martabat kemanusaannya tanpa hidup di dalam lingkungan sosial.